[Návrat do menu integrál]

Cvičení 6

Níže uvedené úlohy jsou uvedeny jako ukázkové s úplným řešením. Po projití těchto úloh bude ještě následovat Sada úloh k samostatnému řešení, u těchto úloh jsou už uvedeny pouze výsledky. Dále je možno pokračovat Užitím integrálního počtu ve fyzice, kde jsou odkazy na studijní texty z FO.

a) Obsah rovinného obrazce         Je-li funkce f spojitá a nezáporná na intervalu áa, bñ, je obsah S množiny na obrázku vpravo určen vztahem

Jsou-li funkce f, g spojité na intervalu áa, bña je-li f(x) ≤ g(x) pro všechna x Î áa, bñ, je obsah S množiny, vyšrafované na obrázku vpravo, určen vztahem

b) Objem rotačního tělesa       Je-li funkce y = f(x) spojitá a nezáporná na intervalu  áa, bñ,  je objem rotačního tělesa vzniklého rotací křivky f(x) kolem osy x (obrázek vpravo) určen vztahem

Užití určitého integrálu ve fyzice

a) Kinematika

     Je-li a(t), kde t Î át₀; t₁ñ, zrychlení přímočarého pohybu v čase t, a je-li v₀ rychlost pohybu v čase t₀, je rychlost pohybu v(t) v čase t určena vztahem

     Je-li v(t), kde  t Î át₀; t₁ñ, rychlost přímočarého pohybu v čase t a je-li s₀ dráha pohybu v čase t₀, je dráha s(t) v čase t určena vztahem

 Příklad 1

Hmotný bod koná přímočarý pohyb tak, že jeho zrychlení s časem rovnoměrně roste a za prvních 10 s pohybu vzroste z nulové hodnoty na 5 m×s^-2. Jaká je rychlost pohybu hmotného bodu v čase t = 10 s a jakou dráhu hmotný bod za tuto dobu urazil, jestliže v čase t = 0 s byl v klidu?

Řešení

Obdobné vztahy jako pro přímočarý pohyb platí i pro pohyb hmotného bodu po kružnici, tj.

Na element plochy působí tlaková síla Na celou plochu pak působí tlaková síla, která je dána součtem jednotlivých tlakových sil, tj.

Příklad 2 Deska D, mající tvar parabolické úseče s výškou 20 m a délkou tětivy 4 m, je zavěšena v nádrži s vodou, jak ukazuje obrázek vpravo. Hladina vody splývá s osou x. Určete velikost síly, kterou působí voda na jednu stranu desky. Uvažujte g = 10 m×s-2, ρ = 1000 kg×m-3 .     Řešení

Příklad 3 - síla působící na otáčející se tyč Homogenní válcová kovová tyč o hustotě  ρ = 8 g × cm-3 a délce l = 30 cm se otáčí kolem pevné osy procházející těžištěm tyče kolmo na směr délky úhlovou rychlostí ω. Jaká může být největší úhlová rychlost otáčení, jestliže největší dovolené napětí, kterému můžeme tyč v podélném směru vystavit, je σD = 60 MPa? Řešení

Příklad 4 - síla působící v gravitačním poli Určete velikost gravitační síly, kterou na sebe navzájem působí hmotný bod o hmotnosti m1 a homogenní tyč délky l a hmotnosti m2, jejíž hmotný střed má vzdálenost a od hmotného bodu a leží v prodloužení podélné osy tyče (viz obrázek níže). Řešení

c) Výpočet práce

Práce síly F je dána integrálem ze skalárního součinu síly F a elementární dráhy ds. Je-li směr obou vektorů stejný, pak můžeme psát

Bude-li síla F  konstantní, pak

což je známý vztah.

Příklad 5 - práce vykonaná při čerpání nádoby Vypočtěte práci, kterou musíme vykonat, abychom vyčerpali nádrž tvaru polokoule, je-li naplněna do poloviny vodou (viz obrázek vpravo). Poloměr je r = 2 m.     Řešení

Příklad 6 - práce vykonaná v elektrostatickém poli Vypočtěte práci, kterou musíme vykonat, abychom přenesli kladný jednotkový náboj Q1 = 1 C z nekonečna do bodu A, který je od bodového náboje Q = 1000 C vzdálen o r = 1 m. Řešení

Gravitační potenciální energie

Newtonův gravitační zákon ve tvaru pro dva hmotné body platí také pro dvě homogenní koule nebo koule se středově souměrně rozloženou hustotou. Předpokládejme nyní, že jedno z těles je Země a druhé hmotný bod. I v tomto případě platí Newtonův gravitační zákon ve tvaru Budeme uvažovat, že se hmotný bod přemístí z bodu A do bodu B (viz obrázek vpravo).

Určíme práci, kterou hmotný bod vykoná působením síly F_g.    

Tuto práci určíme jako součet elementárních prací, tj. dW = F_g dr  (F_g , dr  mají stejný směr), potom

Tato práce se rovná rozdílu gravitační potenciální energie hmotného bodu v počátečním a koncovém bodě trajektorie AB; nezávisí na tvaru trajektorie hmotného bodu mezi A a B.

     Tyto poznatky využijeme při řešení následující úlohy.

Příklad 8 - kinetická energie padajícího tělesa

Vypočítejte kinetickou energii E_k  tělesa o hmotnosti m, volně padajícího z výšky H, při jeho dopadu na zemský povrch, jestliže poloměr Země je R. Jaká by byla tato energie, kdyby H » R? (Odpor vzduchu zanedbejte.)

Řešení

Příklad 9 - práce vykonaná při prodloužení pružiny

Na pružině je zavěšeno závaží o hmotnosti m = 2 kg. Působíme-li na toto závaží silou F = 30 N svisle dolů, prodlouží se pružina o 66 cm. Určete práci síly F při prodloužení pružiny (uvažujte g = 10 ms^-2).

Řešení

Přeměna elektrické energie v tepelnou

     Prochází-li rezistorem o konstantním odporu R elektrický proud I(t); t Î át₀; t₁ñ, určíme množství elektrické energie E, která se při tom přemění v tepelnou podle vztahu:

Více informací o obvodech střídavého proudu je možno získat ve studijním textu

Obvody střídavého proudu - formát PS nebo formát PDF.

Příklad 10

 Vypočítejte, kolik tepelné energie vznikne při průchodu proudu I = I₀ sin ωt rezistorem o odporu R = 2 Ω po dobu  t Î át₀; t₁ñ,  jestliže I₀ = 20 A, ω =  314 rad × s^-1, t Î á0 s; 7 sñ.

Návod: při výpočtu sestaveného integrálu použijte vztahu

Příklad 11

Vypočítejte práci střídavého proudu I = I₀ sin ωt ve vodiči s rezistorem R za jednu periodu T.

Řešení

Práce plynu

      Při výpočtu práce ideálního plynu budeme používat následující vztahy:

1. termodynamický zákon ΔU = W + Q, který si upravíme pomocí diferenciálů na tvar dU = dQ + dW. Je-li dW (nebo dQ) záporná, soustava práci (nebo teplo) od svého okolí nepřijímá, ale odevzdává mu ji. Obvykle používáme značení dW ´ (dQ ´), koná-li práci soustava (odevzdává-li teplo svému okolí). Platí vztahy  dW = - dW ´,  dQ = - dQ ´.

Práce, kterou vykoná plyn při elementární změně svého objemu o dV, je dána vztahem dW´ = p dV.

Po integraci vztahu pro práci dW ´ pak můžeme psát

Dále budeme při výpočtech souvisejících s prací ideálního plynu používat stavovou rovnici ideálního plynu v různých tvarech, nejčastěji pak ve tvarech

Výpočet práce ideálního plynu také velmi úzce souvisí s pojmy tepelná kapacita plynu. Zde rozlišujeme tepelnou kapacitu plynu za stálého objemu C_v a tepelnou kapacitu plynu za stálého tlaku C_p. Častěji pak pracujeme s tzv. molárními tepelnými kapacitami, které jsou definovány takto:

kde M_m je molární hmotnost plynu. Připomeňme si platnost vztahu M_m = M_r × 10^-3.

Jestliže se při elementární stavové změně jednoho molu ideálního plynu jeho teplota změní o dT, jeho vnitřní energie U se změní o

Uvažujeme-li plyn o hmotnosti m, pak obsahuje

takže

Vztah mezi molární tepelnou kapacitou ideálního plynu za stálého tlaku a stálého objemu vyjadřují dvě rovnice:

a) Mayerova rovnice

     pro měrné tepelné kapacity c_p, c_v pak platí

b) Rovnice, pomocí které je definována Poissonova konstanta κ

     Z výše uvedených rovnic pak plyne pro Poissonovu konstantu κ vztah

Více informací o vztazích, které platí pro ideální plyn je možno získat ve studijním textu:

Kruhový děj v ideálním plynu - formát PS nebo  formát PDF.

Příklad 12

      Vzduch o tlaku 20 Pa je adiabaticky stlačen z 200 m³ na 50 m³. Určete výsledný tlak a velikost vykonané práce za předpokladu, že vzduch se chová jako ideální plyn.

Řešení

Příklad 13

      Vypočtěte, kolik tepla se musí odejmout chlazením při izotermickém stlačení m = 45 g oxidu uhličitého CO₂ teploty t₁ = - 15 ⁰C a tlaku p₁ = 0,23 MPa na tlak p₂ = 0,58 MPa.

Řešení

Příklad 14

Vzduch o objemu V₀ = 10 litrů, teplotě t₀ = 0 ⁰C a tlaku p₀ = 0,1 MPa nejprve izotermicky stlačíme na objem V₁ = 2 litry a potom adiabaticky rozepneme na objem  V₂ = 20 litrů. Jaká bude výsledná teplota vzduchu po ukončení této stavové změny a jaká celková práce se při tom spotřebuje? (κ = 1,4 pro vzduch)

Řešení

d) Těžiště tělesa

      Ukážeme si, jak počítat polohu hmotného středu některých těles. Budeme předpokládat, že uvažované těleso je v homogenním tíhovém poli, tj. budeme mluvit o těžišti tělesa.

      Připomeňme si základní podmínky pro výpočet těžiště tělesa:

1. Těžiště tuhého tělesa je působiště tíhové síly působící na těleso v homogenním tíhovém poli.
2. Moment výsledné tíhové síly vzhledem k libovolné ose musí být roven součtu momentů jednotlivých tíhových sil vzhledem k téže ose.

Na základě těchto podmínek můžeme např. psát

odtud pak dostáváme pro souřadnice těžiště vztah

Stejné vztahy platí i pro ostatní osy

Uvažujeme-li těleso se spojitě rozloženou hmotností, pak můžeme psát

kde jsme položili dm = ρ dV,  ρ je hustota tělesa, dV objemový element, dm hmotnostní element. Vztahy bychom ještě mohli upravit užitím toho, že

kde m je hmotnost tělesa.

Příklad 15 Stanovte polohu těžiště homogenního velmi tenkého drátu kruhového oblouku s poloměrem r a středovým úhlem 2α.       Řešení

Příklad 16 Určete polohu těžiště homogenního rotačního kužele výšky v a poloměru r.             Řešení

e) Výpočet momentu setrvačnosti

V této části si ukážeme, jak počítat moment setrvačnosti některých těles užitím integrálního počtu.

     Doposud byl moment setrvačnosti J tuhého tělesa vzhledem k ose otáčení definován pomocí součtu

kde r_i je vzdálenost hmotného bodu m_i  od osy otáčení.

     U těles se spojitě rozloženou látkou platí obdobný vztah

kde jsme použili vztah dm = ρ dV.

Značka  (m) resp. (V) u integrálu značí, že integrujeme přes celé těleso.

     Výpočet momentu setrvačnosti těles vzhledem k libovolné ose otáčení ulehčují některé věty, především Steinerova věta:

kde J₀ je moment setrvačnosti vzhledem k ose procházející těžištěm, a je vzdálenost osy otáčení od osy procházející těžištěm, m je hmotnost tělesa.

Příklad 17 Určete moment setrvačnosti homogenní tyče délky l a hmotnosti m vzhledem k ose kolmé na směr délky tyče a) procházející koncovým bodem tyče, b) procházející středem tyče. Řešení

Příklad 18 Určete moment setrvačnosti homogenní kruhové desky hmotnosti m = 2 kg a poloměru r = 10 cm vzhledem k ose procházející středem desky kolmo na rovinu desky.             Řešení

Příklad 19    Určete moment setrvačnosti homogenní koule o poloměru r a hmotnosti m vzhledem k ose jdoucí středem koule.       Řešení

 Pokračovat je nyní možno řešením sady úloh, kde jsou uvedeny pouze výsledky.