Epicykloidy a hypocykloidy
Historie
Tyto křivky studovali Dührer (1525), Desargues (1640), Huygens (1679), Leibniz, Newton (1626), l'Hospital (1690), Jacob Bernoulli (1690), la Hire (1694), Johann Bernoulli (1695), Daniel Bernoulli (1725), Euler (1745, 1781).
Např. Epitrochoidu objevil Dührer ve své práci Instruction in measurement with compasses and straight edge (1525).
Konstrukce epicykloidy a hypocykloidy
Speciální případy a užití - rhodonea (modelování)
Parametrické rovnice epicykloidy a hypocykloidy
a) Prostá epicykloida a hypocykloida
Epicykloida
Odvalování vně kružnice, označíme a - poloměr pevné kružnice (žlutá), r- poloměr pohyblivé kružnice (červená). Potom
Je-li poměr a/r = m celé číslo, pak prostá epicykloida je uzavřena křivkou s m větvemi, které vzniknou při jednom oběhu hybné kružnice kolem nehybné kružnice.
Je-li poměr a/r = p/q = m racionálním číslem v základním tvaru p/q, pak prostá epicykloida je uzavřenou křivkou s p větvemi, které vzniknou při q obězích hybné kružnice kolem nehybné kružnice.
Je-li poměr a/r = m iracionálním číslem, pak prostá epicykloida není uzavřenou křivkou a obsahuje nekonečně mnoho větví.
Délka větve
Délka prosté epicykloidy pro m Î Z: l = 8(a + r).
Obsah plochy ohraničené jednou větví prosté epicykloidy a příslušným obloukem nehybné kružnice
Hypocykloida
Odvalování uvnitř kružnice, označíme a - poloměr pevné kružnice (žlutá), r- poloměr pohyblivé kružnice (červená). Potom
Je-li poměr a/r = m celé číslo, pak prostá hypocykloida je uzavřena křivkou s m větvemi, které vzniknou při jednom oběhu hybné kružnice kolem nehybné kružnice.
Je-li poměr a/r = p/q = m racionálním číslem v základním tvaru p/q, pak prostá hypocykloida je uzavřenou křivkou s p větvemi, které vzniknou při q obězích hybné kružnice kolem nehybné kružnice.
Je-li poměr a/r = m iracionálním číslem, pak prostá hypocykloida není uzavřenou křivkou a obsahuje nekonečně mnoho větví.
Délka větve
Délka prosté hypocykloidy pro m Î Z: l = 8(a - r).
Obsah plochy ohraničené jednou větví prosté epicykloidy a příslušným obloukem nehybné kružnice
b) Prodloužená a zkrácená epicykloida a hypocykloida
Epicykloida prodloužená a zkrácená
Prodloužená - d/r > 1, zkrácená - d/r < 1.
Hypocykloida prodloužená a zkrácená
Prodloužená - d/r > 1, zkrácená - d/r < 1.