V částech Rovnoměrný pohyb a jeho rychlost  a  Nerovnoměrný pohyb a jeho rychlost jsme si ukázali, jak zavést pojem okamžitá rychlost v případě rovnoměrného pohybu a volného pádu, ale zatím jsme toto neprovedli obecně.

Jak tedy definovat pojem okamžitá rychlost?

V této části se pokusíme tuto otázku zodpovědět.

     V části nerovnoměrný pohyb a jeho rychlost jste se seznámili se vztahem

pro volný pád. Z tohoto vztahu je vidět, jak závisí podíl Δs/Δt při nezměněné hodnotě t na veličině Δt. Tak např. po dosazení t = 3 s při Δt = 0,5 s obdržíme

a při Δt = 0,1 s dostaneme

... atd.

Připusťme na okamžik, že se hmotný bod v části nerovnoměrný pohyb a jeho rychlost z polohy M do polohy M' pohybuje rovnoměrně. Potom by rychlost jeho volného pádu během celého časového intervalu Δt byla rovna

a zůstávala by konstantní. Tuto konstantní rychlost Δs/Δt pro naše další úvahy nazveme průměrnou rychlostí v_p volného pádu v úseku MM'.

     Jak jsme určili, mění se průměrná rychlost podle změny Δt a je zcela zřejmé, že pohybový stav volně padajícího hmotného bodu lze popsat tím lépe, čím bude časový interval Δt menší.

     Z toho můžeme učinit následující závěr:

Okamžitou rychlost hmotného bodu při volném pádu v okamžiku t je nutno definovat jako limitu průměrné rychlosti v_p pro Δt ® 0:

Tímto způsobem obdržíme

Nyní se pokusíme na základě výše uvedené úvahy vyvodit obecný závěr pro obecný případ nerovnoměrného pohybu.

     Označíme písmenem s dráhu, kterou urazí hmotný bod za dobu t. Protože každé hodnotě doby t odpovídá určitá hodnota dráhy s, kterou urazilo těleso za tuto dobu, je vlastně dráha s funkcí proměnné t:

     Abychom určili okamžitou rychlost bodu v určitém okamžiku t, nalezneme nejprve průměrnou rychlost pohybu v časovém intervalu od t do t + Δt. Za dobu t urazil hmotný bod dráhu s = f(t); za dobu t + Δt dráhu s + Δs = f(t + Δt). Z toho plyne, že přírůstek Δs, který urazil hmotný bod v intervalu Δt, je určen výrazem

     Dělením Δs číslem Δt obdržíme průměrnou rychlost v_p v intervalu Δt :

     Přejdeme-li nyní k limitě pro Δt ® 0, nalezneme okamžitou rychlost bodu v okamžiku t:

Okamžitá rychlost je limita, ke které se blíží průměrná rychlost v_p v intervalu Δt, když Δt ® 0.

Poznámka 1: Definice rychlosti nerovnoměrného pohybu obsahuje jako zvláštní případ i pojem rychlosti rovnoměrného pohybu. Protože rychlost Δs/Δt rovnoměrného pohybu je konstantní veličina a limita konstanty je rovna této konstantě, platí opravdu v případě rovnoměrného pohybu

Poznámka 2: Ve všech našich úvahách jsme považovali okamžik t + Δt jako pozdější ve srovnání s okamžikem t; tj. pokládali jsme přírůstek Δt vždy za kladnou veličinu. Ale nic se nezmění, budeme-li okamžik t + Δt považovat za časově dřívější ve srovnání s okamžikem t. Skutečně byla také rychlost v definována jako limita průměrné rychlosti v_p při Δt ® 0 a pojem limity vyžaduje, aby se rychlost v_p blížila k určitému číslu nezávisle na tom, jakým způsobem se blíží Δt k nule.

[Pokračovat]    [Zpět na stránku pojem derivace]