1. Pohyb hmotného bodu nazýváme rovnoměrným, jestliže poměr dráhy, kterou tento bod proběhne v libovolném časovém intervalu, k tomuto časovému intervalu je konstantní. Tato konstanta určuje vzdálenost, kterou proběhne hmotný bod za jednotku času a nazývá se rychlost rovnoměrného pohybu.
Předpokládejme, že hmotný bod, který se pohybuje rovnoměrně, již urazil dráhu s0 do okamžiku, od kterého budeme měřit dobu pohybu a který označíme nulou. Buď t ≠ 0 doba, po kterou trvá pohyb. Písmenem s označíme délku dráhy, kterou proběhl hmotný bod do okamžiku t. Protože dráha s se měří od téhož počátku jako s0, je vzdálenost, uražená bodem za dobu t, určena rozdílem s - s0. Podle definice rovnoměrného pohybu má podíl
konstantní hodnotu - rychlost pohybujícího se bodu. Z této rovnice obdržíme
Vztah (1) se nazývá zákonem rovnoměrného pohybu. Vidíme, že rovnice (1) představuje funkci s proměnnou t v první mocnině. Koeficient v je rychlost rovnoměrného pohybu (konstanta).
Obráceně se snadno dokáže, že funkce
(kde k i b jsou konstanty) vyjadřuje zákon rovnoměrného pohybu. Uvažujme tedy nějakou (libovolnou) dobu t. Dráha uražená hmotným bodem do okamžiku t, je vyjádřena vztahem (2). Pak vezměme jinou dobu t1. Dráhu, proběhnutou bodem do okamžiku t1, označme s1. Užitím vztahu (2) obdržíme
Z toho plyne, že za časový interval t1 - t urazí bod dráhu
čili
z čehož
Protože k je konstanta, dospějeme k tomuto výsledku: pohyb, který je vyjádřen zákonem s = kt + b, se vyznačuje tím, že poměr dráhy, uražené bodem za libovolný časový interval, k tomuto časovému intervalu je konstantní. A to je také definice rovnoměrného pohybu.
Rozdíl t1 - t je přírůstek času Δt a rozdíl s1 - s = Δs je přírůstek dráhy. Na základě rovnice (3) můžeme tedy říci, že rychlost v rovnoměrného pohybu je poměr přírůstku Δs dráhy s k odpovídajícímu přírůstku Δt času t:
2. Vztah, podle kterého se mění délka l pružiny působením zatížení G, je vyjádřen vzorcem
kde k a l0 jsou konstanty (jedná se vlastně Hookův zákon). Protože vztah (4) je funkce proměnné G, obdržíme obdobně jako v případě rovnoměrného pohybu:
Tento podíl vyjadřuje prodloužení pružiny, které připadá na jednotku zatížení. Toto číslo nám vlastně udává, jak rychle se mění délka pružiny při změně zatížení. Proto je možno veličinu
nazvat rychlostí změny délky pružiny (tuto veličinu nazýváme v technické praxi i ve fyzice tuhost pružiny).
3. Nyní budeme vyšetřovat funkci
Jestliže budeme x a y považovat za matematické veličiny, tj. nebudeme jim přisuzovat žádný konkrétní obsah, potom funkce (5) bude vyjadřovat změnu veličiny y v závislosti na změně veličiny x.
definuje nyní změnu funkce y, která připadá na jednotku změny argumentu x. Tento poměr budeme nazývat rychlostí změny funkce y v závislosti na argumentu x - analogicky s pojmem rychlosti rovnoměrného pohybu a analogicky s rychlostí změny délky pružiny.
Připomeňme si, že grafem funkce (5) je přímka. Podle toho se funkce (5) nazývá také lineární funkce. Koeficient k se nazývá směrnice přímky, vyjádřené rovnicí y = kx + b.
Tento koeficient k budeme rovněž nazývat směrnicí lineární funkce. Vztah
ukazuje, že rychlost změny lineární funkce
v proměnné x je veličinou konstantní, rovnou směrnici této funkce.
Takto zavedený pojem rychlosti změny lineární funkce plně odpovídá geometrické představě: čím je směrnice větší, tím strměji stoupá přímka, která zobrazuje funkci (5) a tím rychleji rostou souřadnice y bodů na přímce, které odpovídají vzrůstajícím souřadnicím x.