Uvažujme funkci y = f(x) a vyšetřujme x a y jako matematické veličiny, tj. takové, jimž nebudeme dávat žádný fyzikální význam. Potom bude funkce y = f(x) vyjadřovat průběh změny proměnné y závislé na změně proměnné x.
Nechť přírůstku Δx, který patří k dané hodnotě argumentu x odpovídá přírůstek Δy funkce y. Podíl
ukazuje, jak rychle nebo pomalu se průměrně mění y ve srovnání s x, když se x změní o Δx. Proto je možno nazvat podíl Δy/Δx průměrnou rychlostí vp změny y ve srovnání s x, když se x změní o Δx. Rychlost v změny funkce y pro danou hodnotu x nazveme limitou tohoto podílu pro Δx ® 0:
Tedy rychlostí změny funkce y pro danou hodnotu x se nazývá limita poměru přírůstku Δy funkce y k přírůstku Δx argumentu x, když Δx ® 0.
Užití
Takto rozšířeného pojmu rychlosti na každý průběh změn se užívá v různých oblastech vědy. Tak jsme již poznali, že
nám určuje rychlost pohybu bodu v daném okamžiku x, jestliže pod x rozumíme čas a pod y dráhu, kterou urazil hmotný bod za dobu x. Ukážeme si ještě několik dalších příkladů.
1. Jestliže se tuhé těleso otáčí kolem osy, potom je úhel j, o který se otočí, zřejmě funkcí času. Jestliže se těleso v časovém intervalu od t do t + Δt otočilo o úhel Δj, potom podíl
udává průměrnou úhlovou rychlost otáčení za dobu Δt a
je rovna úhlové rychlosti otáčení v okamžiku t.
udává průměrnou rychlost chemické reakce v časovém intervalu od t do t + Δt a
je rovna rychlosti, s jakou probíhá chemická reakce v okamžiku t.
3. Označíme písmenem q teplotu (ve stupních Celsia) a písmenem Q množství tepla (v joulech), které je třeba dodat tělesu při ohřívání od 0 0C do q 0C. Je zřejmé, že Q = Q(q). Veličinu q zvětšíme o přírůstek Δq . Potom se Q zvětší o přírůstek ΔQ. Podíl
nám určuje průměrnou rychlost zvětšování množství tepla, které připadá na jednotku vzrůstu teploty q. Tato průměrná rychlost změny množství tepla se nazývá tepelná kapacita při ohřívání z q na (q + Δq) . Rychlost změny množství tepla při dané teplotě q , tj.
se pak nazývá tepelná kapacita C pro danou teplotu q .
4. Označme písmenem Q množství elektrického náboje ( v coulombech), který projde příčným průřezem vodiče za dobu t. Elektrickým proudem se pak nazývá
Tato limita určuje množství elektrického proudu, který projde průřezem vodiče za jednotku času. Proto je také elektrický proud I rychlostí změny fyzikálního děje.