[Zpět na stránku Matematika křivek]

Pascalova závitnice (Pascalův limacon)

Historie

Pojem "limacon" pochází z latinského "limax", což znamená hlemýžď. Tuto křivku objevil a pojmenoval Ètienne Pascal, otec Blaise Pascala. Touto křivkou se dále zabýval a zkoumal ji Roberval v roce 1650.

Jedná se o konchoidu kružnice. Kružnici o rovnici

(v polárních souřadnicích) protneme svazkem přímek o vrcholu (pólu) v O a od průsečíku přímky s kružnicí naneseme na obě strany úsečku konstantní délky b. Koncové body úseček leží na konchoidě kružnice, která má v polárních souřadnicích rovnici

a v pravoúhlých souřadnicích rovnici

Konchoida kružnice (Pascalova závitnice) je souměrná podle osy x, v pólu O má dvojný bod (pro b < a je to uzel, pro b = a hrot (kardioida), pro b > a je pól izolovaný bod).

Parametrické rovnice Pascalovy závitnice (limaconu) jsou dány vztahy

Je-li b a pak plocha limaconu je (2a² + b²)π. Je-li b = a/2 (speciálně a/2 = b = 1), pak plocha  uvnitř  smyčky je  a²(π - 3√3/2) a plocha mezi  smyčkami je a²(π + 3√3).

Modelování