Nechť funkce f(x) má derivaci f ´(x). Tato derivace je v podstatě funkcí argumentu x, a proto také může mít derivaci. Derivace "první derivace" y ´=  f ´(x) se nazývá derivace druhého řádu, neboli jednoduše druhá derivace dané funkce y = f(x) a označuje se symbolem:

Poznámka:

               Může se stát, že existuje derivace druhé derivace. Vzhledem k dané funkci to bude derivace třetího řádu nebo krátce třetí derivace [y´´´= f´´´(x)] atd.

Příklad:

     Určete druhou derivaci funkce y = e^ax .

Řešení:

Druhá derivace funkce ve fyzice

Uvedeme si konkrétní příklad užití druhé derivace funkce ve fyzice.

     Předpokládejme, že hmotný bod se pohybuje přímočaře a že jeho pohyb je vyjádřen funkcí s = f(t). Rychlost  v pohybu v okamžiku t je určena derivací dráhy s podle času t:

     Průměrným zrychlením a_p bodu za přírůstek času Δt (při určitém t) se nazývá poměr přírůstku Δv rychlosti v k příslušnému přírůstku času Δt:

Limita tohoto podílu určuje okamžité zrychlení  a bodu v okamžiku t:

Podle definice derivace

Protože v = s´ = f ´(t), je v´ = s´´ = f ´´(t) a tedy a = s´´ = f ´´(t); zrychlení přímočarého pohybu hmotného bodu je definováno druhou derivací dráhy s podle času t.

Příklad:

     Hmotný bod se pohybuje přímočaře a za t sekund proběhne dráhu s (v metrech) určenou vzorcem:

     Určete zrychlení a) na počátku pohybu (pro t = 0 s); b) na konci páté sekundy.

Řešení:

     Zrychlení je druhá derivace dráhy podle času. Derivujeme-li funkci s dvakrát podle t, dostaneme:

     Dosadíme-li do tohoto výrazu hodnoty t = 0 s a t = 5 s, dostaneme a) a_t=0 = 4 ms^-2;   b) a_t=5 = 124 ms^-2 .

Další užití druhé derivace ve fyzice:

     Při určování lokálních extrémů funkcí,

    Zjišťování konvexní a konkávní funkce.