Výpočet limity podílu typu

pro Δx ® 0 je spjat s určením základních pojmů z nejrůznějších oblastí vědy. Tato limita se nazývá derivací funkce y = f(x) podle argumentu x. Přesněji:

Derivací funkce y = f(x) podle proměnné x pro danou hodnotu x (v daném bodě) se nazývá limita poměru přírůstku Δy funkce y k odpovídajícímu přírůstku Δx argumentu x pro Δx blížící se k nule.

K označení derivace se užívá symbolu y’ nebo f’(x). Tedy

Užijeme-li právě uvedené definice derivace, můžeme nyní všechny výsledky, ke kterým jsme dospěli v části Rychlost funkce zformulovat takto:

1. Rychlost změny funkce y = f(x) pro danou hodnotu x je derivací funkce y podle x v daném bodě.

2. Okamžitá rychlost pohybu je derivací proběhnuté dráhy podle času.

3. Úhlová rychlost otáčení tělesa kolem osy w je derivací úhlu j , o který se těleso otočí kolem osy, podle času t.

4. Rychlost chemické reakce je derivací hmotnosti látky m, na které působí chemická reakce, podle času t.

5. Tepelná kapacita tělesa C je derivací množství tepla Q podle teploty q.

6. Elektrický proud I je derivací náboje Q prošlého elektrického proudu podle času t.

Abychom zderivovali funkci v souladu s definicí derivace, je třeba provést tyto kroky (obecný způsob výpočtu derivace):

1. Vypočítat hodnotu funkce y, která odpovídá dané hodnotě argumentu x.

2. K dané hodnotě argumentu x určit hodnotu x + Δx a vypočítat příslušnou hodnotu y + Δy dané funkce.

3. Odečíst od nové hodnoty funkce y + Δy původní hodnotu y a tím určit přírůstek Δy dané funkce.

4. Vytvořit podíl Δy/Δx, tj. vydělit vypočtený přírůstek Δy přírůstkem Δx.

5. Nalézt limitu podílu Δy/Δx pro Δx ® 0. Tato limita udává hledanou derivaci.

Výše uvedený soubor pravidel si nyní ukážeme na příkladech.

Ve všech příkladech budeme označovat hodnotu funkce y, která odpovídá hodnotě argumentu c = x, tímto symbolem:

Příklad 1

    Určete derivaci funkce y = x² v bodě x = 3.

Řešení

Příklad 2

     Určete derivaci funkce y = x³ v libovolném bodě x (pro libovolnou hodnotu argumentu x).

Řešení

Příklad 3

     Určete derivaci funkce y = 3x² + 5 v libovolném bodě x.

Řešení

Příklad 4

     Derivujte funkci

     ve všech bodech jejího definičního oboru.

Řešení

Příklad 5

     Derivujte funkci y = kx + b, kde k a b jsou konstanty.

Řešení

Příklad 6

     Nalezněte derivace f ´(2) a f ´(-3) funkce f(x) = 3x² + 5 (tj. určete derivaci v bodech x = 2 a x = -3 dané funkce).

Řešení

     Vyšetřované příklady ukazují, že číselná hodnota derivace závisí na číselné hodnotě argumentu, pro který se počítá derivace dané funkce. To znamená, že derivace f ´(x) dané funkce f(x) je zase novou funkcí argumentu x.

     Obecné vyjádření derivace f ´(x) funkce f(x), které bylo takto nalezeno, tj. určování derivace pro libovolnou hodnotu x, nás vede vedle dané funkce k tomu, abychom vytvořili novou funkci f ´(x) téhož argumentu.

     Je ale třeba si uvědomit, že během samotného derivování je libovolná hodnota argumentu x považována za neproměnnou a limita podílu přírůstku funkce f(x) a přírůstku Δx argumentu x se hledá za podmínky, že se blíží k nule, přičemž však libovolná hodnota argumentu x zůstává nezměněna.

     Jinak řečeno, podíl

pro Δx ® 0 je funkcí přírůstku Δx.

[Pokračování]     [Zpět na stránku pojem derivace]