[Návrat na hlavní stránku]

Pojem limita funkce



Před studiem této části by bylo dobré se seznámit s pojmem limita posloupnosti .

Vyšetřete průběh funkce

v okolí bodu x = 1 .

 

Zadaná funkce má stejné hodnoty jako funkce

pro všechna x ¹ 1. Funkce

není v bodě x = 1 definována na rozdíl od funkce

která má v tomto bodě hodnotu y 2 = 2. Ke stejné hodnotě se však hodnoty funkce y 1 v tomto bodě blíží. Říkáme, že funkce y 1 má v bodě x = 1 limitu rovnou 2 a zapisujeme

Pojem limita funkce je také možno popsat matematicky: pokud se hodnoty funkce y 1 blíží hodnotě 2, můžeme říci:

Zvolíme-li jakékoliv malé kladné číslo e , dovedeme nalézt takové okolí bodu x = 1, že se v něm hodnoty funkce y 1 budou lišit od 2 o méně než e . Matematicky to lze vyjádřit takto:

Tento závěr je možno zformulovat obecně:

Funkce

má v bodě x 0 limitu rovnou a , jestliže existuje kladné číslo d tak, že nerovnost

platí pro všechna x , pro která

- viz níže uvedený obrázek.

Zapisujeme

Je-li a , x 0 konečné, má funkce

ve vlatním bodě vlastní limitu.


Funkce může mít limitu:

a) konečnou, rovnou hodnotě a (vlastní limita)

b) nekonečně velkou (nevlastní) v bodě
1. x = x 0

2. x ® ± ¥

Existují také funkce, které mají limitu různou, blížíme-li se k bodu x = x 0 zprava i zleva - viz níže uvedený obrázek.

Jestliže v definici limity funkce

výše uvedený vztah platí jen pro hodnoty x blížící se k bodu x 0 zprava nebo zleva, mluvíme o limitě zprava a o limitě zleva.

Např. funkce

má pro x ® 0 nevlastní limitu zleva - ¥ , zprava + ¥ .

Zapisujeme:

Vlastnosti limit:

1. Podle definice limity funkce může mít funkce limitu i v bodě x 0 , ve kterém není definována. (V definici se totiž nevyskytuje hodnota funkce f(x 0 ) .)

2. Platí-li pro dvě funkce f(x) , g(x) v určitém okolí bodu x 0 , že f(x) = g(x) , pak obě podle předcházející vlastnosti a definice limity mají obě funkce v bodě x 0 stejnou limitu.

3. Má-li funkce f(x) v bodě x 0 oboustrannou limitu a , pak platí:

Pro výpočet limit funkcí si dále uvedeme velmi důležité věty , které jsou obdobné jako věty o limitách posloupností.

Nechť funkce f(x) , g(x) mají v bodě x 0 vlastní limity a , b , tj.

Potom platí

Tato pravidla platí také pro více funkcí.

 

Některé důležité limity často užívané při výpočtech:


Pro výpočty limit dále platí:


Dále také platí

ani

neexistuje pro