Délka křivky
Délku
křivky určíme tak, že si celou křivku rozdělíme na n částí, které
můžeme přibližně považovat za přímky. Potom pro délku takového dílku platí
Zvolíme-li dílky velmi malé, můžeme Δ - přírůstky nahradit diferenciálem funkce, tj.
Po úpravě dostaneme tzv. diferenciál oblouku křivky
Celou délku křivky pak dostaneme integrací
Parametrické vyjádření křivky
Je-li křivka dána parametricky, tj.
Potom můžeme psát
Po dosazení do (12) dostaneme
po odmocnění je diferenciál oblouku křivky dán vztahem
Celková délka křivky je pak dána vztahem
Poznámka
Jestliže budeme parametr t považovat za čas, potom výraz s odmocninou vyjadřuje velikost okamžité rychlosti pohybu. Potom lze psát
Polární souřadnice
Je-li rovnice křivky zadána pomocí polárních souřadnic r a φ, pak můžeme psát
Potom
Po dosazení do (12) dostaneme
Po úpravě a odmocnění
