Pojem křivka

Pojem křivka je jedním z nejdůležitějších matematických pojmů a zároveň jedním z těch pojmů, které se vyskytují v aplikacích i denním životě. Přesto se ale úplné objasnění těchto pojmů neustále vyvíjí. Naznačme si nyní, jak asi vypadal vývoj tohoto pojmu. Definice křivky by měla být dostatečně jednoduchá, aby v sobě zahrnovala všechny souvislé geometrické útvary, které jsou běžně považovány za křivky, avšak žádné takové útvary, jako je např. čtverec nebo krychle.

Pokud bychom si nyní položili otázku, jaký je nejpodstatnější rozdíl mezi křivkou a např. krychlí, pak na první pohled bychom řekli, že podstatný rozdíl by byl v tom, že krychle obsahuje více bodů než křivka. Avšak již v 19. století Georg Cantor ukázal, že toto není pravda, křivka obsahuje "právě tolik" bodů jako čtverec nebo krychle - jinak řečeno ukázal, že existuje vzájemné jednoznačné přiřazení mezi křivkou a body čtverce (krychle).

Další pokus o charakteristiku křivky vycházel z toho, že křivky, které se běžně vyskytují v matematice (i jejich větve), lze pojmout jako dráhu pohybujícího se hmotného bodu.  Zdálo se tedy, že by bylo možné definovat jako dráhu, kterou proběhne v určitém časovém intervalu bod, který se spojitě pohybuje - jinak řečeno, že křivku lze definovat jako spojitý obraz úsečky. Tato definice byla ale příliš široká. Italský matematik Peano ukázal již v roce 1890, že existuje spojité zobrazení úsečky na čtverec, tj. jinak řečeno, že dráha bodu, jenž se spojitě pohybuje, může vyplňovat celý čtverec. Toto spojité zobrazení ale není vzájemně jednoznačné, tj. pohybující se hmotný bod projde některými body čtverce několikrát.

V dalším vývoji definice křivky byla vytvořena tzv. topologická definice křivky (Menger - 1921, Urysohn), kde se mluví o křivce jako o spojitém kontinuu.

V současné době, v moderní diferenciální geometrii je již pojem křivka zobecněn v souvislosti s pojmem varieta.