Historie cyklických křivek
Cyklické křivky mají nezanedbatelný podíl na rozvoji teorie křivek. Těmito křivkami se zabýval značný počet matematiků a fyziků, především pak francouzských. Podívejme se nyní podrobně na historii těchto křivek, jak byla vnímána koncem 19. století.
V 17. století začali mnozí matematici zkoumat křivku, kterou opisuje určitý bod kružnice, který se valí po přímce obdobně jako kolo u vozu, pokud se vůz pohybuje přímočaře (podle Historie de l´Acaddémie Royale des Sciences à Paris depuis 1699 jusqu´à 1790. Année 1706). Někteří matematici vzniklou křivku nazvali roulettou, jiní cycloidou, česky také koloběžnice. Kružnice a bod na ní zvolený byly nazvány tvořícími a přímka, po které docházelo k valení byla tzv. řídící přímka (podle Chasles "Geshichte der Geometrie" übersetzt von Sohncke 1839).
Cykloida, jejíž jméno souvisí se všemi vynálezy 17. století, byla již předmětem bádání Galilea (1564 - 1642), Descarta (1596 - 1650), Fermata (1608 - 1665), Robervala (1602 - 1675 ) a Toricelliho (1608 - 1647).
Po delší odmlce začal tuto křivku také zkoumat E. Pascal (1623 - 1662). Použitím Cavalieriho principu předčil Pascal vzhledem k cykloidě i nejlepší geometry té doby. V té době také Pascal vyhlásil soutěž, které se zejména účastnili: Wren, Sluze, Wallis, Huygens, la Loubière a Fabri. Každý z těchto vědců se nějakým způsobem přičinili, aby vyřešili nějaké úlohy o cykloidě, ale Pascal je všechny předčil.
Po této soutěži stoupl význam cykloidy, především v době objevu diferenciálního počtu. Kromě geometrických vlastností objevili tehdejší badatelé také mechanické vlastnosti této křivky. Huygens (1629 - 1695) jako první upozornil na "stejnodobost" pádu po této křivce, odkud pak vznikl název tautochrona nebo také izochrona. Bernoulli pak následovně dokázal, že cykloida je také křivkou nejkratší doby pádu, tzv. brachystochrona.
Také Newton (1643 - 1727), Leibnitz (1646 - 1716), de l´Hospital (1661 - 1704) a řada jiných se v této době touto křivkou zabývali.
Velmi brzy se obor cykloid rozšířil i jiným směrem. Tvořící kružnice se místo po přímce odvalovala po jiné, tzv. řídící kružnici, což mělo za následek objevení tzv. epicykloid. První text o těchto křivkách vydal de la Hire pod názvem: "Traité des epicykloides", ačkoliv již r. 1674 Römer považoval tuto křivku za nejvýhodnější tvar pro ozubení kola.
Ještě obecnější se stala teorie cykloid tím, že tvořící bod ležel nejen na obvodu kružnice, ale i mimo ni. Pokud ležel tvořící bod uvnitř kružnice, opisoval tzv. epicykloidu prodlouženou, pokud ležel vně kružnice, opisoval epicykloidu zkrácenou. Oba tyto názvy si během historického vývoje vyměnily svá místa, první druh epicykloidy je nyní zkrácená a druhý prodloužená.
Valení kružnice, díky kterému vznikla cykloida, umožnilo definovat cykloidu jako křivku, která vznikne pokrytím všech poloh určité tětivy tvořící kružnice. I epicykloidy lze tímto způsobem definovat, neboli křivka, která zakryje všechny polohy určité tětivy kružnice, jež se valí po jiné kružnici, je také epicykloidou.
Již Leibnitz, de la Hire, Nicolas a řada dalších byli zkoumáním cykloid inspirování k objevení křivek mnohem obecnějších, které vznikají pohybem určitého bodu v rovině nějaké křivky, když se tato křivka valí po jiné křivce ležící v téže rovině. Trajektorie tvořícího bodu byla nazvána trochoidou nebo také roulettou.
Herrmann s Clairautem rozšířili tento obor i pro křivky na kouli, o nichž platí zcela analogické zákony. De la Hire (1640 - 1718) jako první pojal trochoidy úplně všeobecně, a to tak, že nechal libovolnou křivku valit po jiné také libovolné křivce. Trajektorií každého bodu nehybně spojeného s tvořící křivkou nazval roulettou (podle Histoire de l´Academie 1706).
Toto zahrnuje jak cykloidy, tak epicykloidy, ale i evolventy nejen obyčejné, ale i zkrácené.
Základ de la Hireovy teorie tvoří poučky o nekonečně malých veličinách s opomenutím již tehdy známých základů diferenciálního počtu. V místě křivek klade de la Hire rovnostranné mnohoúhelníky, které těmto křivkám opisuje a jejichž strany jsou nekonečně malé. Rouletty se pak skládají ze samých nekonečně malých kruhových oblouků, které následkem valení jednoho mnohoúhelníku po druhém tvořící bod opíše. De la Hire stanovil pro tyto křivky tečny, inflexní body, délku obvodu i plošný obsah, nepodal však všeobecné analytické rovnice, ale neužil diferenciální počet.
Zásady své teorie objasnil na mnoha příkladech, nejvíce na epicykloidách. I když byla jeho práce čtena již v roce 1698 v pařížské akademii, publikována byla teprve v roce 1706 v "Mémoires de l´Académie" pod názvem "Traité des roulettes etc.".
V téže době, kdy byla zveřejněna práce de la Hireho, podal Nicole (v Histoire de l´Académie. 1707. "Sur les roulettes.") pojednání o téže problematice pařížské akademii. Toto pojednání bylo vytištěno v roce 1707 v "Mémoires de l´Académie" pod názvem: "Méthode générale pour déterminer la nature des courbes formées par le roulement" etc. Nicole nahlížel, že zákony o nekonečně malých veličinách v geometrii nutně vyžadují použití diferenciálního počtu, pokud bychom chtěli dospět ke všeobecně platným výsledkům.
Má-li se teorie trochoid stát tak všeobecnou, aby se ze tří křivek, tj. tvořící, řídící a trochoidy, stanovila jedna z nich, jsou-li dány dvě ostatní, je třeba stanovit jejich závislost. Protože jen nekonečně malé části křivek jsou pro všechny útvary shodné, je nutno tuto souvislost stanovit postupem, který se používá v diferenciálním počtu. Toto provedl Nicole. Souvislost nekonečně malých valením vzniklých změn souřadnic je popsána pomocí rovnic, z nichž se pomocí daných křivek a derivací odvodí eliminačním způsobem rovnice obsahující kromě stálých veličin pouze proměnné veličiny požadované křivky.
Tímto způsobem byla geometrie propojena s diferenciálním počtem.
Kromě této práce je napsal v roce 1732 Nicole článek: "Manière de déterminer la nature de celles, qui sont formées sur la superficie convexe d´une sphére" etc., ve kterém podává autor teorii cykloid vytvořených na kulové ploše.
Postupně byly zveřejňovány i další články, my se ale zmíníme až o spisu, který napsal Chasles pod názvem "Apercu historique". Zde autor uveřejnil základní myšlenky o trochoidách. V tomto spisu např. píše: "Důležitá je metoda sestrojení tečny k cykloidě obsažená v listech Descatových a hodící se pro rouletty jako takové. Tato metoda byla velmi jednoduchá, protože závisela pouze na tom, že se tvořící a řídící přímky považovaly za limity mnohoúhelníků, které mají vždy jednu stranu společnou. Tvořící bod opíše následkem valení jednoho mnohoúhelníku po druhém kruhové oblouky, z čehož okamžitě plyne, že průvodič je normálou trochoidy. Tečna se pak vede kolmo k normále. Tato metoda se později velmi často používala, ale nebyla pro svou jednoduchost úplně doceněna."
Tato metoda platí pro všechny křivky, které je možné považovat za trochoidy.
Velké zásluhy o rozvoj teorie trochoid má časopis "Nouvelles Annales de Mathématiques" par Gerono, v němž uveřejnili své články o roulettách Catalan, Mannheim, Serret, Sacchi a další. Ve všech článcích o trochoidách uvedených v tomto časopise je možno nalézt víceméně vhodná použití infinitezimálního počtu.
Z německých matematiků se teorií trochoid zabývali např. Steiner, Böcklen, Hennig.
Např. Steinerův článek v "Crelle´s Journal" sv. 21 pod názvem "Von dem Krümmugsmittelpunkte ebener Curven" stanovuje minimum plošného obsahu trochoidy na základě pouček o těžišti křivky. Böcklen uveřejnil článek "Über Fusspunkten - und Rollcurven" v Grunnertově "Archiv für Math. u. Phys." ve sv. 37, ve kterém stanovil vztah trochoidy s průmětem tvořící křivky. Hennigův článek "Beitrag zur Theorie der ebenen Roulleten" v "Crelle´s Journal" z r. 1865 popsal kromě již známých pouček některé zajímavé věty o poloměru křivosti, obvodu a ploše.
Strauch zase ve svém rozsáhlém díle "Integration der Differentialgleichungen" v r. 1865 řeší obecnou úlohu teorie trochoid, tj. stanovit rovnici jedné ze tří křivek tvořící přímky, řídící přímky a trochoidy, pokud jsou dány rovnice ostatních dvou. Strauch v tomto díle nerozšířil doposud známou teorii trochoid, ale stavěl pouze na dřívějších základech. Je ale zajímavé, že použil tyto zajímavé křivky za příklad v výuce integrování diferenciálních rovnic.
Aby rozvoj teorie trochoid mohl dále na konci 19. století pokračovat, bylo třeba vyřešit následující problémy:
a) Použití nových geometrických zákonů a zákonů deskriptivní geometrie na trochoidy,
b) rozšířit teorii trochoid pro prostorové křivky,
c) zkoumat plochy, které vznikají podobným způsobem, když tvořící bod přechází v tvořící prostorovou křivku.
Toto byl nástin historie vzniku cyklických křivek v konci 19. století, který pak dále pokračoval a ještě dále pokračuje...
Literatura:
Časopis pro pěstování mathematiky a fyziky. 1. ročník, Praha r. 1872.