[Zpět na stránku Matematika křivek]

Cykloida - historie

Poprvé se touto křivkou začal zabývat v roce 1599  Galileo Galilei, od něhož také pochází název cykloida. V roce 1639 psal o cykloidě Toriccelli (říká se, že ji studoval 40 let). G. Galilei se pokusil hledat plochu, kterou by porovnal s plochou, kterou vytváří kruh. Později, když se mu nepodařilo nalézt vhodnou matematickou metodu, uchýlil se k vážení kousků kovů vyříznutých ve tvaru cykloidy. Hledaný poměr aproximoval od 3 do 1, ale rozhodl se, že 3 nebyla správná. Nesprávně se domníval, že poměr není racionální číslo.

O určení plochy pod obloukem cykloidy se pokusil dále Mersenne společně s Robervalem v roce 1628. Úspěšný v řešení problému byl pouze Roberval v r. 1634. Došel k závěru, že plocha pod obloukem prosté cykloidy je 3πa². Roberval napsal o tomto výsledku Descartovi, a ten ho vyzval (a spolu s ním i další) k hledání metody pohybu tečny po cykloidě, když sám před tím objevil, jak ji zkonstruovat. Robervalovi se to nezdařilo, ale zdařilo se to Fermatovi. Nezávisle na tomto řešení se problém nalézt plochu cykloidy podařilo vyřešit také Toriccellimu.

V roce 1658 začal E. Pascal řešit problém plochy pro vybraný segment cykloidy a hledal také hmotný střed takové plochy. Začal se také zabývat řešením problému objemu a povrchu tuhého tělesa vzniklého rotací cykloidy kolem její x-ové plochy. Pascal tento problém zveřejnil a nabídl odměnu za vyřešení těchto problémů. Wallis a Lalouère začali problém řešit, ale ani jeden ho úspěšně nevyřešil. Bez vstupu do soutěže sdělili Pascalovi své výsledky Sture, Ricci, Huygens, Wren a Fermat. Nejpozoruhodnější byl Wrenův výsledek, Wren nalezl správně i délku cykloidálního oblouku, a to 8a. Pascal potom uveřejnil svoje vlastní řešení problému společně s prodloužením Wrenova výsledku.

V roce 1673 objevil Huygens, že cykloida má tu vlastnost, že částice P klouzající po cykloidě bude vykonávat harmonický kmitavý pohyb (nezávislý na rozkmitu (tj. tautochrona). Toto publikoval pod názvem Horologium oscilatorium.  Huygens zkonstruoval první kyvadlové hodiny, a to tak, že kyvadlo kývalo po cykloidálním oblouku.

V roce 1696 zformuloval Johann Bernoulli tzv. úlohu o brachystochroně. Ve vertikální rovině zvolil dva body, které neleží ve svislé přímce. Měla se nalézt křivka, po které se hmotný bod bude pohybovat, aby dospěl z jednoho bodu do druhého za co nejkratší dobu. Johann Bernoulli vzápětí úlohu vyřešil, odpovídající křivkou je cykloida. Řešení podal i jeho bratr Jakob Bernoulli, Newton, Leibniz a l'Hospital.

Řešení obou bratrů byla názorným dokladem o rozdílnosti jejich přístupů k matematickým problémům. Johann došel k výsledku svou geniální intuicí a s využitím analogie s Fermatovým principem o šíření světla (tento postup je možno nalézt v textu Diferenciální rovnice). Jacobův systematický postup vedl k objevu variačního počtu, k němuž dal takto vlastně Johann podnět.