Řešení příkladu č. 2

Hledáme extrém na uzavřeném intervalu! Musíme tedy vyšetřit body nulové derivace a krajní body intervalu.

Označme x, y a s vzdálenosti na obrázku vpravo. Cena v miliónech Kč je c = 4x + 5s. Vztahy mezi x a y jsou:          Všechny proměnné můžeme vyjádřit pomocí x nebo y nebo s.

      4. Asi nejjednodušší se jeví vyjádřit c pomocí y: 

Matematický problém nyní je: najít minimální hodnotu c na intervalu  0 £ y £ 10. Po zderivování c podle y dostaneme

Položíme-li  c´ = 0, dostaneme

Dostaneme dva kořeny y = - 4 a y = 4, úloze vyhovuje pouze kořen y = 4.

Vypočteme c v bodech  y = 0, 4, 10.

Tento výpočet funkčních hodnot v krajních bodech intervalu nám nahrazuje použití druhé derivace při vyšetřování extrému.

Minimální cena je tedy 49 miliónů Kč a dosáhne se jí při y = 4, tedy umístěním křižovatky 4 km západně od B (6 km východně od A). Tím se ušetří víc než dva milióny Kč proti přímé cestě a víc než 5 miliónů Kč proti cestě ve tvaru L s úhlem v B.