Historie fraktálů

Úvod

Na základních a středních školách se učíme pracovat s geometrií, která se zabývá pravidelnými útvary (přímky, kružnice, …). Tyto útvary jsou geometricky hladké a pravidelné. Převážná většina útvarů kolem nás je ale nepravidelná. Pokud se tyto útvary pokusíme popsat, musíme použít nějakou aproximaci. Tak dochází k deformaci a ztrátě informací. Klasickým problémem je měření délky pobřeží ostrova. Jedna z možných metod je „obejít“ ostrov s měřidlem o nějaké délce. Výsledná hodnota bude pouhou aproximací skutečné délky ostrova. Pokud celý proces zopakujete s menší délkou měřidla, zjistíte že výsledek je o něco větší. Podařilo se vám totiž zachytit mnohem více detailů.

Měření ostrova

Příkladem tohoto problému je třeba to, že Portugalsko uvádí délku hranic se Španělskem 1214 km, kdežto Španělsko má s Portugalskem hranici jen 987 km.

Další typické znaky fraktálů jsou lépe patrné na jiných modelech. Vezměte si třeba strom. Zdálky může vypadat jako trojúhelník, při přibližování (změně měřítka) se bude vyjasňovat jeho struktura (větve) a při dalším přiblížení zjistíte, že jednotlivé větvičky „vytvářejí“ obraz celého stromu. Tato vlastnost se nazývá soběpodobnost. S ní se setkáváme především u matematických modelů, zatímco v přírodě se objevuje hlavně soběpříbuznost.

Soběpodobnost - kterákoliv část fraktálu je přesnou kopií původního motivu. Jinde než u matematických struktur se s ní nesetkáte.

Soběpříbuznost - kterákoliv část fraktálu je podobná původnímu vzoru. V přírodě se jedná např. o větve či kořeny stromu, mraky, pouštní duny atd.

Proto se začíná objevovat fraktální geometrie, která úzce souvisí s teorií chaosu. Zabývá se nepravidelností objektů. Poprvé použil slovo fraktál Benoit Mandelbrot. Pochází z latinského slova fractus. Z něj je odvozené slovo frangere - rozlámat, vytvořit nepravidelné úlomky. Fraktál je tedy jakýkoliv geometricky nepravidelný útvar, ze kterého po rozdělení vznikne v ideálním případě několik soběpodobných kopií původního celku. Jedná se o útvary, které jsou nezávislé na měřítku. Často mají ještě další zajímavé vlastnosti, např. nekonečně dlouhý obvod či nekonečně malý obsah.

Historie

Teorie chaosu a s ní související fraktální geometrie jsou velmi mladé obory. K jejich vzniku významně přispěly počítače. Práce mnoha vědců s chaosem byla a je založena na prozkoumávání mnoha grafů spočítaných sice velmi jednoduchými rovnicemi, ale zato s velkou přesností. O jedny z prvních objevů se postarali během první světové války Gaston Julia a Pierre Fatou při zkoumání rovnice z=z²+c kde z i c jsou komplexní čísla, z představuje souřadnice vykreslovaného bodu a c je konstanta. Zvolíme si konstantu c, reprezentující množinu a pro každý bod z iterativně zkoušíme, zda konverguje. Pokud ano, do množiny nepatří a pro názornost mu přidělíme příslušnou barvu. Pokud vydrží i do maximálního počtu iterací do množiny patří.

Na přelomu padesátých a šedesátých let se mnoho vědců zabývalo předpovědí počasí. Edward Lorenz nebyl sice meteorolog, ale počasí ho velice zajímalo. Byl jedním z mála vědců, kteří měli ke své práci počítač. Pokoušel se vymyslet rovnice popisující chování atmosféry. V té době byly i výpočty jednoduchých rovnic velmi pomalé a tak si jednou zkrátil čas výpočtem pouze poloviny grafu. Počáteční hodnoty zvolil dle předchozího výpočtu a nechal počítač kreslit graf. Když byl graf hotov, srovnal jeho část s již dříve spočítaným grafem a zjistil, že se po chvíli grafy rozcházejí a odlišují se. Původně si myslel, že je to chyba počítače, ale i po opětovném výpočtu se dostavil stejný efekt. Po nějaké době zjistil, že počítač počítá s osmi desetinnými místy, ale on jich zadal pouze šest. Tehdy si uvědomil, že předpovídat počasí není tak jednoduché, jak se zdálo. Jakkoliv malá nepřesnost při vyjádření počátečních podmínek znamená velkou odchylku od skutečnosti. Tato velmi důležitá myšlenka se projevuje i u naprosté většiny chaotických systémů.

Odchylka Lorenzova grafu

Další Lorenzova práce označovaná jako „zázračný článek“ se týká chování vodního kola, kde do nádob na něj připevněných postupně přitéká a odtéká voda. Jedná se o první slavný chaotický systém. Voda stéká do horní nádoby a ta po naplnění vlivem gravitace roztočí kolo. Lorenz si tedy několika lineárními rovnicemi vyjádřil chování vodního kola a nechal počítač zobrazit graf. Očekával, buď že se kolo bude otáčet stále jedním směrem anebo se bude periodicky střídat otáčení na každou stranu. Jenže Lorenzův systém neudělal ani jedno.

Lorenzovo vodní kolo	Lorenzův atraktor

Díky zvoleným hodnotám se systém dostal do nestability, kdy nebylo jasné, jak se bude v příštích okamžicích chovat. Na obrazovce počítače si nechal vykreslit mapu zobrazující chování vodního kola. Kdyby se křivka protínala, znamenalo by to cyklické opakování děje. To se ale nestalo. Místo toho se objevila nekonečná křivka v prostoru připomínající motýlí křídla. V té době ovšem Lorenz netušil, že se jedná o fraktál.

Na nějakou dobu zůstal Lorenz zapomenut a mezi vědci nepochopen. Až v roce 1972 objevil jeden matematik jeho článek a věnoval jej Jamesi Yorkemu. Yorke si uvědomil, že není možné na všechny věci nahlížet jako na lineární. Článek na něj udělal velký dojem a tak jeho fotokopie rozdával svým přátelům. Jednu kopii věnoval také Stevu Smaleovi z Univerzity v Berkeley a na papír napsal své jméno, aby mu ji vrátil. Smale podobně jako Yorke objevil v článku velmi zajímavé a revoluční myšlenky a situace se opakovala - fotokopii věnoval každému, kdo byl ochoten si ji vzít. Jenže na fotokopiích bylo Yorkeho jméno a adresa, takže vznikl dojem, že Lorenze objevil Yorke. Yorke se ovšem neproslavil pouze touto příhodou. Byl a je jedním z nejvýznamnějších vědců zabývajících se chaosem a dynamickými systémy.

V té době se chaosem začal zabývat také Benoit Mandelbrot. Tento velice ctižádostivý a sebevědomý vědec se narodil roku 1924 ve Varšavě, v roce 1936 se přestěhoval do Paříže a později do Tully. Zabýval se matematikou, vyučoval fyziku, filozofii a pracoval u IBM. Mandelbrot jen náhodou narazil na zapadlou práci Gastona Julia a Pierre Fatou. Zaujala ho a chtěl všechny množiny sjednotit. Poprvé se setkal s fraktály při studiu vývoje cen bavlny nebo při problému odstraňování šumu při datových přenosech. Cena bavlny byla sice nepředvídatelná, ale stejná posloupnost změn se dala vysledovat v různých měřítkách. Podobný problém odhalil i při sledování poruch na telekomunikačních linkách. Inženýři z IBM se potýkali s problémem šumu na telefonních linkách mezi počítači. Šum se objevoval zcela náhodně a stejně i mizel. Většinou se problém snažili řešit opravou kabeláže, ale to nepomáhalo. Mandelbrot si nechal vytisknout grafy datových přenosů a šumu způsobujících chyby. Po nějaké době našel zajímavou podobnost mezi tzv. Cantorovým diskontinuem a šumem. Mandelbrot také dospěl k myšlence, že v přírodě existuje skrytý fraktální řád.

Jednoduché fraktály

Mezi nejjednodušší fraktály patří iterační funkční systémy (IFS). Princip IFS si vysvětlíme na jednom z nejjednodušších fraktálů - Cantorově diskontinuu. Na počátku je přímka. Tu rozdělíme na tři shodné části. A obě krajní části zase rozdělíme na tři části, na které aplikujeme toto pravidlo. Nejprve vznikne několik úseček, ty se ale postupně změní v malé tečky. Po nekonečně mnoho opakováních vznikne jen nekonečně mnoho bodů. Je zajímavé, že i takto jednoduchý obrazec je fraktálem.

Cantorovo diskontinuum	Barnsleyho kapradina

Mezi nejznámější ISF fraktály patří také Barnsleyho kapradina. Ta vznikne, vezmeme-li obraz kapradiny a proklademe ji malými kopiemi sebe sama. Při pohledu na obrázek je patrná podobnost s útvarem, který vytvořila sama příroda.

Dalším jednoduchým fraktálem je Kochova vločka. Představte si trojúhelník, k jehož každé straně přidáme k prostřední třetině další trojúhelník o třetinu menší. A tento postup budeme opakovat i na tento trojúhelníček. Po mnoha opakováních vznikne křivka s několika velice zajímavými vlastnostmi. Tato křivka nikdy neprotne sebe sama, neboť nové trojúhelníky jsou příliš malé, než aby si „překážely“. Každá iterace křivku o malý kousek prodlouží, ale plocha zůstává narozdíl od křivky konečná.

Kochova vločka	Sierpinského trojúhelník

Velice známý fraktál je Sierpinského trojúhelník. Tento obrazec vznikne tak, že z trojúhelníku vyřízneme trojúhelník tvořený středními příčkami trojúhelníku původního. A tento postup opakujeme na tři zbylé trojúhelníčky. Tím vznikne nekonečně mnoho nekonečně malých trojúhelníčků.

Nemusíme se pouze omezovat na trojúhelníky či jiná dvojrozměrná tělesa. Můžeme vyřezávat třeba z obdélníku. Tím vznikne další fraktál, Sierpinského koberec. Příkladem aplikace podobných operací na trojrozměrné objekty je Mengerova houba, trojrozměrná mřížka s nekonečně velkým povrchem, ale nekonečně malým objemem.

Mengerova houba	Newton

Posledním z nejznámějších fraktálů je Newton. Byl objeven Johnem Hubbardem, který si zobrazil Newtonovu metodu řešení polynomů. Ten zkoumal velice jednoduchou rovnici x³ - 1 = 0. V oboru reálných čísel má jedno řešení, ale v oboru komplexních čísel jsou řešení tři. Na počítači si barevně odlišil body, které konvergovaly k určitému kořenu. Tak mu vznikl trojbarevný obrazec, který měl na rozhraních velice zajímavé obrazce. Tato rovnice se tedy stala základní pro fraktál.

Přírodní útvary

Nejvíce fraktálů ovšem vymyslela sama příroda. Velice zajímavé útvary tvoří různé oscilátory, turbulence, různé chemické reakce nebo protažení tyče vazkou tekutinou. Pokud tyč protáhneme jednou, vzniknou poměrně jednoduché vlnité obrazce nazývané též Karmánové víry. Protáhneme-li ji vícekrát, vznikají komplikované útvary.

Protažení tyče vazkou tekutinou

Praktické využití fraktálů

Fraktální geometrie postupně přechází z fáze objevování do fáze praktického využití. Fraktály se využívají v biologii, chemii a medicíně pro modelování různých procesů. Pravděpodobně největší uplatnění má fraktální geometrie v počítačové grafice.

Rozpoznávání obrazu – V tomto odvětví se asi nejdále zatím dostalo rozpoznávání písma. Přesto jsou nejmodernější technologie schopné rozpoznávat s vysokou úspěšností pouze tištěný text. S rukopisy mají již problémy a zatím neexistuje systém, který by byl schopen uspokojivě rozpoznat písmo dvou různých lidí.

Komprese dat - Na kompresi dat se využívají systémy iterovaných funkcí. V letech 1985 a 1987 vydali Demko a Barnsley publikace, kde nastiňují metodu, jak pomocí IFS generovat textury. Později se však metoda ukázala jako vhodná pro kompresi dat, jelikož jedna transformace je v tomto případě zapsána pomocí osmi čísel. Tuto metodu využívá grafický formát FIF, který dosahuje lepších nebo alespoň srovnatelných výsledků v porovnání s ostatními grafickými formáty.

Generování pseudopřírodních útvarů - S rozvojem grafických schopností počítačů se stále více ukazovalo, že je potřeba objevit nové postupy, jak modelovat přírodní objekty. Fraktály se užívají hlavně ke generování útvarů, jako jsou stromy, mraky, rostliny, kameny apod. V této oblasti neexistuje lepší způsob, který by dával věrohodnější výsledky.

Generování textur - Generování textur pomocí fraktálů je velice rozšířené. Jejich výhodou je paměťová nenáročnost. Data pro texturu, která má být generována fraktálem, mají velikost řádově v desítkách bytů. Texturu je také možno zobrazit v různých velikostech, aniž by bylo vidět nějaké zkreslení, které běžně nastává u bitmapových textur.

Artware - Mnozí matematici (včetně B. Mandelbrota) byli uchváceni krásou fraktálů, které zkoumali, a nejeden z nich si vytvářel fraktály jen tak pro jejich krásu. Velký rozmach artware nastal s příchodem osobních počítačů do domácností. Vznikly mnohé více či méně zdařilé programy pro generování fraktálních obrazců, kterých lze dnes na internetu nalézt tisíce. Artware se v dnešní době zaměřuje na dvojrozměrné obrazce. V nich je většinou ještě třetí rozměr, který je vyjádřen barvou.

Nadějné vyhlídky

Na závěr je třeba říci, že fraktální geometrie a teorie chaosu jsou vědní obory, které jsou zatím na počátku svého vývoje a možností praktického využití. Jejich rozvoj v budoucnosti může být zdrojem dalších užitečných objevů a poznatků, nejen pro výpočetní techniku, ale i pro ostatní vědní obory.

Zdroje:
http://mrkni.cz/
http://www.penguin.cz/~mhi/math/Fraktaly/
http://www.sweb.cz/chaos.fraktaly/