Tato část je uvedena spíš pro informaci o tom, jak řešit integraci racionální lomené funkce. Zájemci o tuto problematiku najdou vše podrobněji ve vysokoškolských učebnicích integrálního počtu.
Racionální lomená funkce proměnné x je funkce tvaru
kde S(x) a Q(x) jsou mnohočleny, přičemž Q(x) je stupně aspoň prvého a dělení
nevyjde beze zbytku.
Je definována pro všechna x, kromě těch, pro něž je Q(x) = 0.
Je-li dána racionální lomená funkce
a je-li mnohočlen S(x) stupně m, Q(x) mnohočlen stupně n > 0 a je-li m ≥ n, lze dělením převést funkci
na tvar
kde P(x) je nižšího stupně než Q(x).
Např. je-li
lze po vydělení tuto funkci převést na tvar
Je tedy v tomto případě
Budeme nyní předpokládat, že
je taková racionální lomená funkce, kde je stupeň čitatele P(x) menší než stupeň jmenovatele Q(x).
Omezíme se však jen na dva nejjednodušší typy racionálních funkcí lomených, kdy jmenovatel Q(x) je prvního nebo druhého stupně, tj. integrály tvaru
kde a, b, c, m, n jsou konstanty, přičemž a ≠ 0.
První integrál lze řešit substitucí t = ax + b, potom dt = a dx,
Druhý integrál
může být trojí:
a) Jmenovatel ax2 + bx + c lze rozložit v součin dvou různých lineárních dvojčlenů. To nastane tehdy, má-li rovnice ax2 + bx + c = 0 dva různé reálné kořeny x1, x2, čili když diskriminant b2 - 4ac > 0. V tomto případě rozložíme zlomek
v součet dvou zlomků
a porovnáním obou zlomků určíme konstanty A, B. Je totiž
Oba zlomky mají téhož jmenovatele, proto i čitatelé se sobě rovnají. Z toho vyplývá
Odtud vyplývá
Daný integrál je pak roven součtu dvou integrálů
které umíme počítat.
Příklad
Máme vypočítat integrál
Řešení
Nejprve rozložíme jmenovatele a dostaneme
na součet dvou zlomků
a porovnáním zlomků dostaneme
neboli
Sestavíme rovnice pro konstanty A, B:
Odtud dostáváme
Daný integrál pak je
b) Jmenovatel ax2 + bx + c je druhá mocnina nebo násobek druhé mocniny lineárního dvojčlenu. To nastane, má-li rovnice ax2 + bx + c = 0 dvojnásobný kořen
čili když diskriminant b2 - 4ac = 0. Pak je
a integrál
vypočteme substitucí
Příklad
Vypočtěte
Řešení
Protože jmenovatel x2 - 4x + 4 = (x - 2)2, je
Užijeme-li k výpočtu substituce
dostaneme
c) Jmenovatel ax2 + bx + c nelze rozložit v součin. To nastane tehdy, nemá-li rovnice ax2 + bx + c = 0 reálné kořeny, čili když diskriminant b2 - 4ac < 0. V tomto případě rozložíme nejprve zlomek
na dva zlomky tak, aby první obsahoval v čitateli násobek derivace jmenovatele ax2 + bx + c a druhý konstantu. Tedy
což je možné jen tak, že
Potom
Rozklad tedy je
Nyní můžeme integrovat
Výpočet integrálu
si ukážeme na konkrétním příkladu.
Příklad
Vypočtěte integrál
Řešení
Protože diskriminant 4 - 28 < 0, rozložíme zlomek
na dva zlomky, z nichž první má v čitateli násobek derivace jmenovatele x2 + 2x + 7 a druhý konstantu. Platí (x2 + 2x + 7)´ = 2x + 2 a proto položíme
Porovnáním zlomků dostaneme
Dále je
První integrál
Absolutní hodnotu nepíšeme, protože pro každé x je x2 + 2x + 7 > 0.
Pro výpočet druhého integrálu
upravíme nejprve jmenovatele
pak zavedeme substituci
a dostaneme
Celkem tedy obdržíme
