Určení integrační konstanty

počátečními podmínkami

Je dána funkce f(x) a chceme-li určit funkci F(x), která splňuje jen jednu podmínku, totiž tu, že její derivace je rovna dané funkci f(x), pak řešení má tvar

     Přidáme-li ještě nějakou podmínku, které má vyhovovat hledaná funkce, dostaneme už jen jedno řešení, které přísluší určité hodnotě integrační konstanty a které vyhovuje této doplňující podmínce.

     Ukážeme si to dále na příkladech.

Příklad 1

Určete funkci, jejíž derivace je 3x² - 2x + 5 a která pro x = 1 nabývá hodnoty 12.

Řešení

Z podmínek úlohy plyne, že hledaná funkce je primitivní funkcí k 3x² - 2x + 5. Vypočteme-li neurčitý integrál k 3x² - 2x + 5, nalezneme nejdříve všechny příslušné primitivní funkce:

  Z vypočteného výrazu x³ - x² + 5x + C, který zahrnuje všechny primitivní funkce k  3x² - 2x + 5, odvodíme dále hledanou primitivní funkci. Tato primitivní funkce přísluší určité hodnotě integrační konstanty C, kterou nalezneme, vyjdeme-li z druhé podmínky úlohy. Protože hodnota hledané primitivní funkce je 12 pro x = 1, musí být:

Hledaná funkce je tedy

Příklad 2

Směrnice tečny křivky je v každém jejím bodě dána funkcí x². Křivka prochází bodem [3; - 1]. Určete rovnici této křivky.

Řešení

Víme, že směrnice tečny křivky je derivací y podle x. Dle zadání je tedy y´ = x². Integrujeme-li x², najdeme nejprve rovnici, která při neurčené integrační konstantě C zahrnuje všechny křivky, vyhovující první podmínce úlohy:

Podle druhé podmínky úlohy je:

Hledaná křivka je tedy vyjádřena rovnicí