Pojem funkce

V technice, ve fyzice, v přírodních vědách a matematice nás nezajímají pouze změny jedné veličiny samotné, nýbrž závislosti mezi několika proměnnými veličinami.
V nejjednodušším případě, kterým se budeme zabývat v tomto textu, pracujeme se závislostmi mezi dvěma proměnnými. Např. je-li s dráha, kterou urazí těleso padající volným pádem za čas t , můžeme psát

Rovnice (1) určuje závislost mezi t a s .

Představme si, že nás bude např. zajímat délka dráhy, kterou proběhne těleso za t ₁ sekund. Potom za proměnnou t dosadíme hodnotu t ₁ a vypočteme tomu příslušející dráhu.

Charakter změny proměnné veličiny s se liší od charakteru změny proměnné t . Veličina, jejíž číselnou hodnotu je možno libovolně volit, se nazývá nezávisle proměnná (argument). Proměnná, která nabývá určitých číselných hodnot nezávisle na argumentu, se nazývá závisle proměnná - funkce .

Nyní nás bude zajímat obrácená úloha, tj. budeme se zabývat úlohou, za jakou dobu urazí těleso určitou zvolenou dráhu. Vztah odpovídají této situaci dostaneme, vyjádříme-li neznámou t ze vzorce (1), tj.

Je vidět, že v tomto případě si proměnné t a s navzájem vyměnily role: argumentem je nyní proměnná s a funkcí proměnná t .

Kterou z proměnných v dané funkční závislosti budeme považovat za argument a kterou za funkci, je zcela jednoznačně urč eno podmínkami úlohy.

Je-li např. v nějaké nádobě uzavřen ideální plyn pod tlakem pístu, potom mezi tlakem p a objemem V plynu existuje závislost

Pokud se bude podle podmínek úlohy jevit p jako nezávisle proměnná, můžeme psát

Je tudíž objem V funkcí tlaku p .

Na základě výše uvedených příkladů můžeme nyní napsat definici pojmu funkce:

Proměnná veličina y se nazývá funkcí nezávisle proměnné veličiny x, jestliže každé hodnotě veličiny x odpovídá jedna určitá veličina y.

Nechť je dána funkce f: y=f(x) . Množinu hodnot, kterých může nabývat proměnná x , nazýváme definiční obor funkce f , tj. D(f) . Množinu hodnot, kterých nabývá proměnná y , nazýváme obor hodnot funkce H(f) .

Poznámka:

Definice funkce nic neříká o způsobu, jímž je stanovena závislost mezi funkcemi a argumenty. Tyto způsoby mohou být rozmanité, my se v tomto textu budeme zabývat především případy, kdy je funkce dána vzorcem.

V přírodních vědách a v technice se často setkáváme s případy, kdy závislost mezi funkcí a argumentem není určena vzorcem, ale pokusem. Pak vyjadřujeme vztah mezi funkcí a argumentem užitím tabulky, ale někdy se snažíme sestavit vzorec, vyjadřující funkční závislost přibližně pomocí tzv. empirického vzorce .

Místo empirického vzorce je někdy vhodnější vyjádřit funkční závislost v přibližném grafu.