Pojem posloupnost

Posloupnost je funkce, jejímž definičním oborem je množina N všech přirozených čísel ( nekonečná číselná posloupnost ), je-li definičním oborem množina prvních n přirozených čísel {1, 2, ..., n } jedná se o konečnou posloupnost ( konečnou číselnou posloupnost ) . Funkční hodnoty (konečné nebo nekonečné) se nazývají členy posloupnosti . Funkční hodnota posloupnosti v bodě n Î N se nazývá n - tý člen posloupnosti a značí se místo f(n) zpravidla f _n anebo častěji a _n , b _n .

Posloupnost (nekonečná) s  n - tým členem a _n se zapisuje ( a ₁ , a ₂ , ..., a _n , ...) nebo

Posloupnost konečná s  n - tým členem a _n a s definičním oborem {1, 2, ... , k } se zapisuje

( a ₁ , a ₂ , ... , a _k ) nebo

je zpravidla zadán:

• vzorcem pro n - tý člen a _n , např. a _n = 2 n - 1 (liché číslo) nebo a _n = 2 n (sudé číslo),
• rekurentně zadáním prvního členu posloupnosti nebo několika prvních členů posloupnosti a vzorcem, podle něhož lze určit postupně další členy. Zpravidla je dáno a ₁ a vzorec vyjadřující člen a _n+1 pomocí a _n .

Graf posloupnosti je bodový se souřadnicemi bodů [ n, a _n ] .

Příklady posloupností zadaných pomocí vzorce pro n - tý člen:

Posloupnost

se nazývá

shora omezená posloupnost , existuje-li takové číslo h Î R , tak, že

pro každé n Î N ,

zdola omezená posloupnost , existuje-li takové číslo d Î R , že

pro každé n Î N ,

omezená posloupnost , je-li omezená shora i zdola.

Posloupnost

se nazývá

rostoucí posloupnost , je-li a _n+1 > a _n pro každé n Î N ,

klesající posloupnost , je-li a _n+1 < a _n pro každé n Î N ,

nerostoucí posloupnost , je-li a _n ³ a _n+1 pro každé n Î N ,

neklesající posloupnost , je-li a _n+1 ³ a _n pro každé n Î N .

Rostoucí, klesající, neklesající, nerostoucí posloupnosti se nazývají monotónní posloupnosti .

Posloupnosti rostoucí a klesající se nazývají ryze monotónní posloupnosti .