Nekonečně malé funkce

Funkci y = f(x) nazýváme v okolí bodu x = x ₀ nekonečně malou, je-li

Budeme uvažovat dvě funkce g(x) , h(x) nekonečně malé v okolí bodu x ₀ . Označíme

Limita C může mít obecně tyto hodnoty:

1. konečné reálné číslo a různé od nuly,
2. rovna nule,
3. nevlastní,
4. rovna 1.

1. V prvním případě můžeme říci, že obě funkce jsou "stejného řádu malosti" pro x ® x ₀ .
2. Ve druhém případě lze konstatovat, že funkce g ( x ) vyššího řádu malosti než h ( x ).
3. Ve třetím případě naopak je funkce g(x) nižšího řádu malosti než funkce h(x) .
4. V posledním případě - což je možno také chápat jako speciální případ prvního případu pro a = 1 , můžeme říci, že obě funkce jsou ekvivalentní pro x ® x 0 .

   Toto můžeme zapsat také tak, že

   

   pro x ® x _{0 .}

   Řád malosti dané funkce určujeme porovnáním s funkcí

   

   která je n - tého řádu malosti pro x ® x ₀ .

   Poznatky z posledního případu používáme ve fyzice, především v případě malých kmitů (ale i např. v geometrické optice a řadě dalších úloh), kdy lze nahradit funkci sin( x ) nebo i tg( x ) hodnotou úhlu v obloukové míře, kdy lze psát

   

   nebo

   

   Oba vztahy jsou důsledkem toho, že platí

   

Jiný případ, kdy se můžeme setkat s užitím limity funkce pro odvození přibližných vzorců je uveden níže.

Pro x ® 0 můžeme psát

Naznačíme si důkaz pro n Î N (Vzhledem k tomu, že tento text je zaměřen na fyzikální aplikace, nebudeme se tímto důkazem podrobněji zabývat. Podrobnější obecný důkaz pro n Î R lze nalézt v učebnicích matematiky.)

Ze vztahu uvedeného výše plyne

Protože pravá i levá strana tohoto vztahu jsou nekonečně malé funkce v okolí bodu x = 0, stačí dokázat

Po tom můžeme psát